Непрерывные системы случайных величин.

Так же как и раньше мы определим двумерную непрерывную случайную величину как такую случайную величину, функция распределения которой непрерывна.

С помощью функции можно найти вероятность любого события вида

, (6)

т.е. вероятность попадания точки с координатами в прямоугольник Q вида

(Рис.1)


Для этого применим к событиям и формулу сложения вероятностей:

Если теперь учесть, что события и (6) несовместны и в сумме составляют событие , то будем иметь:

что и решает поставленную задачу.

Перечислим ряд свойств функции .Их доказательство проводится так же, как и в случае одной случайной величины .

1. F(x2,y2)+F(x1,y1)-F(x1,y2)-F(x2,y1)≥0, если х1≤х2, у1≤у2 это следует из (7)

2. F(x, y) является неубывающей функцией по каждому из аргументов.

3. F(x, y) непрерывна слева по каждому из аргументов.

4. F(x, y) удовлетворяет соотношениям:

F (+∞, +∞ ) = F(х, y ) =1,

Свойства 1-4, как можно показать, являются характеристическими свойствами функции распределения. Это значит, что любая функция F(х, у), удовлетворяющая свойствам 1-4, является двумерной функцией распределения для некоторой системы случайных величин (ξ ,η).

Рассмотрим наиболее важный класс систем (ξ,η) с непрерывным распределением, для которых существует плотность вероятности.

Определение.Двумерная случайная величина (ξ,η) с функцией распределения F(x,y) имеет плотность вероятности, если существует неотрицательная функция

p(x, y) такая, что

F(x, y) = . (8)

Функция p(х,у)называется двумерной плотностью распределения (или плотностью вероятности) системы (ξ, η).

Из определения плотности p(x, y) следуют её свойства.

p(х,y)≥0, . (9)

Функция p(х,у), удовлетворяющая (9), может быть плотностью некоторого распределения с функцией распределения, заданной формулой (8).

Из формулы (8) следует, что

p(х,у)= . (10)

Заметим, что в случае непрерывного распределения, вероятность события ( (ξ,η) Г), где Г-кривая на плоскости, равна нулю.

Из определения также следует, что

Fξ(x)= .

В случае существования плотности формула (7) преобретает наглядный вид:

P(x1≤ξ≤x2, y1≤η≤y2)= , (11)

где Q- прямоугольник (см. рис.1).

Из формулы сложения вероятностей и определения двойного интеграла, отсюда следует, что вероятность попадания точки с координатами (ξ,η) в заданную (измеримую) область произвольной формы G будет равна

P(( ) G)= . (12)

Примером многомерной плотности служит плотность p(x,y) равномерного распределения на области G конечной площади μ(G)в плоскости, задаваемая равенством

p(x,y)=

Если В какая то область на плоскости, то вероятность

P((ξ,η) B)) в этом случае определяется отношением площадей B∩G и G:

. (13)

По этой формуле вычисляются, так называемые, геометрические вероятности (см. §7 гл.1).


2670135748907649.html
2670197260983241.html
    PR.RU™